Os números quânticos

Nossa tarefa é construir um modelo mecânico quântico do átomo coerente com as observações experimentais, tomando como base as propriedades de onda do elétron e sua função de onda.

Os números quânticos, as camadas e as subcamadas

Quando a equação de Schrödinger é resolvida para um átomo tridimensional, observa-se que são necessários três números quânticos para caracterizar cada função de onda. Os três números quânticos são chamados de $n$, $l$ e $m_l$:

• $n$ está associado ao tamanho e à energia do orbital
• $l$ está associado a sua forma
• $m_l$ está associado com sua orientação espacial

Você já conhece $n$, o número quântico principal, que especifica a energia do orbital em um átomo de um elétron. Em um átomo com um elétron, todos os orbitais atômicos com o mesmo valor de $n$ têm a mesma energia e dizemos que eles pertencem à mesma camada do átomo. O termo reflete o fato de que quando $n$ aumenta, a região de máxima densidade de probabilidade parece-se com uma concha oca de raio progressivamente maior. A distância média entre um elétron e o núcleo aumenta com o valor de $n$.

O segundo número quântico necessário para especificar um orbital é $l$, o número quântico do momento angular do orbital. Esse número quântico pode ter os valores $$l = 0, 1, 2, \ldots, n-1$$ Existem $n$ valores diferentes de $l$ para cada valor de $n$. Para $n = 3$, por exemplo, $l$ pode assumir qualquer um dos valores $0$, $1$ e $2$. Os orbitais de uma camada com número quântico principal $n$, portanto, são classificados em n subcamadas, grupos de orbitais que têm o mesmo valor de $l$. Existe somente uma subcamada no nível $n = 1$ ($l = 0$), duas no nível $n = 2$ ($l = 0$ e $l = 1$), três no nível $n = 3$, e assim por diante. Todos os orbitais com $l = 0$ são chamados de orbitais $s$, os de $l = 1$ são chamados de orbitais $p$, os de $l = 2$ são chamados de orbitais $d$ e os de $l = 3$ são chamados de orbitais $f$.

Embora valores maiores de $l$ (correspondentes aos orbitais $g, h, \ldots$) sejam possíveis, os valores menores ($0$, $1$, $2$ e $3$) são os únicos que os químicos precisam na prática. Um aspecto importante é:

• Para o átomo de hidrogênio (mas não de átomos com mais de um elétron) todos os orbitais de uma mesma camada têm a mesma energia, independentemente do valor do momento angular

Os orbitais de uma camada de um átomo de hidrogênio são chamados de degenerados, isto é, têm a mesma energia. Essa degenerescência de orbitais com o mesmo valor de $n$ e diferentes valores de $l$ só é verdadeira no caso do átomo de hidrogênio e dos íons de um elétron (como $\ce{He^+}$ e $\ce{C^{5+}}$).

O terceiro número quântico necessário para especificar um orbital é $m_l$, o número quântico magnético, que distingue os orbitais de uma subcamada. Este número quântico pode assumir os seguintes valores $$m_l = -l+1, -l, \ldots, l-1, l$$ Existem $2l + 1$ valores diferentes de $m_l$ para um dado valor de $l$ e, portanto, $2l + 1$ orbitais em uma subcamada de número quântico $l$. Por exemplo, para um orbital $p$, $l = 1$ e $m_l = -1, 0, +1$; logo, existem três orbitais $p$ em uma camada. Dito de outro modo, uma subcamada com $l = 1$ tem três orbitais. Orbitais com o mesmo valor de $l$ e diferentes valores de $m_l$ são degenerados mesmo em átomos de muitos elétrons. Logo, os três orbitais $p$ de uma camada são degenerados tanto no hidrogênio como em outros átomos.

Nota de boa prática

Como o número quântico magnético pode ter valor negativo ou positivo, sempre escreva o sinal $+$ explicitamente no caso de valores positivos de $m_l$. Por exemplo, escreva $m_l = +1$, não $m_l = 1$.

O número quântico magnético especifica a orientação do movimento orbital do elétron. Assim, por exemplo, se $m_l = +1$, então o momento angular do orbital do elétron em torno do eixo arbitrário é $+\hbar$, ao passo que se $m_l = -1$, o momento angular do orbital do elétron em torno do mesmo eixo arbitrário é $-\hbar$. A diferença de sinal simplesmente significa que a direção do movimento é a contrária: o elétron em um estado circula em torno do eixo no sentido horário e um elétron no outro estado circula no sentido anti-horário. Se $m_l = 0$, então o elétron não está circulando em torno do eixo arbitrário selecionado, mas está distribuído uniformemente ao redor dele em determinado raio.

O spin do elétron

O cálculo das energias dos orbitais do hidrogênio proposto por Schrödinger foi um marco no desenvolvimento da teoria atômica moderna. Entretanto, as linhas espectrais observadas não tinham exatamente a mesma frequência predita por ele. Em 1925 (antes do trabalho de Schrödinger, mas após o desenvolvimento, por Bohr, do primeiro modelo do átomo), dois físicos holandeses, naturalizados americanos, Samuel Goudsmit e George Uhlenbeck, propuseram uma explicação para essas pequenas diferenças. Eles sugeriram que o elétron possuía uma propriedade chamada de spin. A teoria de Schrödinger não levava em conta o spin, mas isso acabou acontecendo naturalmente quando o físico britânico Paul Dirac encontrou um modo (em 1928) de combinar a teoria da relatividade de Einstein com o procedimento de Schrödinger.

De acordo com a mecânica quântica, um elétron tem dois estados de spin, representados pelas setas $\uparrow$ (para cima) e $\downarrow$ (para baixo). Os dois estados de spin são distinguidos por um quarto número quântico, o número quântico magnético de spin, $m_s$. Este número quântico só pode assumir dois valores: $-1/2$ indica um elétron $\uparrow$ e $+1/2$ indica um elétron $\downarrow$.

Dois cientistas alemães, Otto Stern e Walter Gerlach, foram os primeiros a detectar o spin do elétron experimentalmente, em 1922. Como uma carga elétrica em movimento gera um campo magnético, eles previram que um elétron com spin deveria se comportar como um pequeno ímã. Em seu experimento (veja a ilustração), Stern e Gerlach removeram todo o ar de um recipiente e fizeram passar por ele um campo magnético muito pouco uniforme. Depois, eles dispararam um feixe fino de átomos de prata pelo recipiente na direção de um detector. Um átomo de prata tem um elétron desemparelhado. Os 46 elétrons restantes são emparelhados. Por isso, o átomo se comporta como um elétron desemparelhado que se desloca sobre uma plataforma pesada.

Se o elétron tem spin, ele se comportaria como um ímã capaz de adotar qualquer orientação em relação ao campo magnético aplicado. Nesse caso, uma faixa larga de átomos de prata deveria aparecer no detector, porque o campo atrairia os átomos de prata diferentemente, de acordo com a orientação do spin. Foi exatamente isso que Stern e Gerlach observaram quando fizeram o experimento pela primeira vez.

A estutura eletrônica do hidrogênio

No estado fundamental, o elétron está no nível de energia mais baixo, o estado com $n = 1$. O único orbital com $n = 1$ é o orbital $s$. Dizemos que o elétron ocupa um orbital $1s$, ou que é um “elétron $1s$”. O elétron do átomo de hidrogênio no estado fundamental é descrito por quatro números quânticos, cujos valores são: $$n = 1 \quad l = 0 \quad m_l = 0 \quad m_s = +\tfrac{1}{2} \text{ ou } -\tfrac{1}{2}$$ O elétron pode adotar qualquer um dos estados de spin.

Quando o átomo adquire energia suficiente (pela absorção de um fóton de radiação, por exemplo) para que seu elétron atinja a camada em que $n = 2$, ele pode ocupar qualquer um de quatro orbitais. Nessa camada, existem um orbital $2s$ e três orbitais $2p$ e, no hidrogênio, todos têm a mesma energia. Quando um elétron é descrito por uma dessas funções de onda, dizemos que ele ocupa um orbital $2s$ ou um orbital $2p$, ou, então, que ele é um “elétron $2s$” ou um “elétron $2p$”, respectivamente. A distância média de um elétron ao núcleo quando ele ocupa um dos orbitais da camada $n = 2$ é maior do que quando ele ocupa a camada $n = 1$. Podemos, então, imaginar que o átomo aumenta de tamanho quando é excitado pela energia.

Se o átomo adquire ainda mais energia, o elétron move-se para a camada em que $n = 3$ e o átomo aumenta ainda mais. Nessa camada, o elétron pode ocupar qualquer um de nove orbitais (um $3s$, três $3p$ e cinco $3d$). Quando o átomo absorve mais energia ainda, o elétron se afasta novamente do núcleo e ocupa a camada em que $n = 4$, na qual 16 orbitais estão disponíveis (um $4s$, três $4p$, cinco $4d$ e sete $4f$). A absorção de energia prossegue, até ser suficiente para que o elétron possa escapar da atração do núcleo e, assim, deixar o átomo.