Problema 3F74

Sendo $a$ a quantidade inicial de ácido e $ra$ a quantidade inicial de etanol, podemos escrever os seguintes balanços: $$a=[A]+[M]+[D]$$ $$ra=[M]+[EtOH]+2[D]$$ $$[\ce{H2O}]=[M]+2[D]$$ A última e penúltima relação vem da estequiometria das reações, veja os problemas 73 e 72. $$K_{1}=\frac{\ce{[M][H2O]}}{\ce{[A][EtOH]}}$$ $$K_{2}=\frac{\ce{[D][H2O]}}{\ce{[M][EtOH]}}$$ Considerando um rendimento $\alpha_{1}$ para geração do mono e $\alpha_{2}$ para a geração do di, chegamos nas equações: $$[A]=a(1-\alpha_{1}-\alpha_{2})$$ $$[\ce{H2O}]=a(\alpha_{1}+2\alpha_{2})$$ $$[\ce{EtOH}]=a(r-\alpha_{1}-2\alpha_{2})$$ Temos 5 equações e 5 incógnitas(assumindo que sabemos a quantidade inicial $a$) de ácido, então basta resolver, vamos isolar tudo em função de $[M]$: Cálculo de $a$ em função de $[M]$ e $\ce{[D]}$a partir das constantes de equilíbrio: $$K_{1}=\frac{(M)(M+2D)}{(a-M-D)(ra-M-2D)}$$ $$K_{2}=\frac{D(M+2D)}{M(ra-M-2D)}$$ $$\frac{K_{1}}{K_{2}}=\frac{M^{2}}{D(a-M-D)}$$ Resolvendo para a: $$a=\frac{M^{2}K_{2}}{K_{1}D}+M+D$$ $$a=\frac{(\alpha_{1}a)^{2}K_{2}}{K_{1}\alpha_{2}a}+\alpha_{1}a+\alpha_{2}a$$ $$\alpha_{1}^{2}(K_{2})+\alpha_{1}(K_{1}\alpha_{2})+\alpha_{2}^{2}K_{1}-\alpha_{2}K_{1}=0$$ Para maximizar $\alpha_{1}$ basta minimizar $\alpha_{2}$, vamos escrever então como um polinômio do 2 grau em $\alpha_{2}$: $$\alpha_{2}^{2}(K_{1})-\alpha_{2}(K_{1}-\alpha_{1}K_{1})+\alpha_{1}^{2}K_{2}=0$$ O valor de x que minimiza a expressão será: $$x=\frac{-b}{2a}$$ $$\alpha_{2}=\frac{K_{1}(1-\alpha_{1})}{2K_{1}}$$ $$\alpha_{2}=\frac{1-\alpha_{1}}{2}$$ Voltando na expressão e calculando $\alpha_{1}$: $$(\frac{1-\alpha_{1}}{2})^{2}(K_{1})-(\frac{1-\alpha_{1}}{2})(K_{1}-\alpha_{1}K_{1})+\alpha_{1}^{2}K_{2}=0$$ Resolvendo para $\alpha_{1}$: $$\alpha_{1}=\frac{1}{1+2\sqrt{\frac{K_{2}}{K_{1}}}}$$ Usando que $K_{1}=K_{2}:$ $$\boxed{\alpha_{1}= \frac{1}{3}}$$ Cálculo de $\alpha_{2}$: $$\alpha_{2}=\frac{1}{3}$$

Cálculo de $r$ a partir da primeira constante de equilíbrio: $$K_{1}=\frac{\frac{a}{3}(\frac{a}{3}+ \frac{2a}{3})}{(\frac{a}{3})(a(r- 1))}$$ Usando que $K_{1}=20$ $$20=\frac{1}{(r- 1)}$$ $$\boxed{r=1,05}$$