Problema 3H34

Cálculo das constantes de hidrólise de cada íon: $$\ce{K_{\ce{h,a}}}=\frac{\ce{K}_{\ce{w}}}{\ce{K}_{\ce{a}}}$$ $$\ce{K_{\ce{h,a}}}=\frac{\pu{e-14}}{\pu{1,8E-5}}=\pu{5,6e-10}$$ $$\ce{K_{\ce{h,b}}}=\frac{\ce{K}_{\ce{w}}}{\ce{K}_{\ce{b}}}$$ $$\ce{K_{\ce{h,b}}}=\frac{\pu{e-14}}{\pu{1,8e-9}}=\pu{5,6e-6}$$ Conservando a quantidade de acetato e a quantidade de piridínio: $$\ce{[C5H5NH+]} + [\ce{C5H5N}]=\pu{0,5}$$ $$\ce{[CH3COO-]} + [\ce{CH3COOH}]=\pu{0,5}$$ Então temos a seguinte relação: $$\ce{[CH3COO-]} + [\ce{CH3COOH}]=\ce{[C5H5NH+]} + [\ce{C5H5N}]\;\;(i)$$ Observe que ambas as reações possuem constantes de equilíbrio muito pequenas, então podemos fazer a aproximação de que a reação praticamente não acontece, ou seja: $$[\ce{C5H5NH+}]\approx \pu{0,5 mol L-1}$$ $$[\ce{CH3COO-}]\approx \pu{0,5 mol L-1}$$ Usando essa aproximação em (i) chegamos na relação: $$\ce{[CH3COOH]}\approx[\ce{C5H5N}]$$ Usando a definição de cada constante de equilíbrio: $$\ce{K_{\ce{a}}}=\frac{[\ce{H+}][\ce{CH3COO-}]}{\ce{[CH3COOH]}}$$ $$\ce{K_{\ce{b}}}=\frac{\ce{[C5H5NH+][OH-]}}{\ce{[C5H5N]}}$$ $$\ce{K_{\ce{w}}}=[\ce{H+}][\ce{OH-}]$$ Vamos manipular essas equações para sumir com a concentração de $\ce{OH-}$ e isolar a concentração de $\ce{H+}$ , ou seja, faça o produto da primeira equação com a terceira e divida pela segunda: $$\frac{\ce{K_{\ce{a}}\ce{K_{\ce{w}}}}}{\ce{K_{\ce{b}}}}=\frac{\ce{[H+]^2}}{1}\frac{\ce{[CH3COO-][C5H5N]}}{\ce{[CH3COOH][C5H5NH+]}}$$ Usando as aproximações ficamos com: $$\frac{\ce{K_{\ce{a}}\ce{K_{\ce{w}}}}}{\ce{K_{\ce{b}}}}=\frac{\ce{[H+]^2}}{1}\frac{\ce{[CH3COO-][C5H5N]}}{\ce{[CH3COOH][C5H5NH+]}}$$ $$\ce{[H+]}=\sqrt{\frac{\ce{K_{\ce{a}}\ce{K_{\ce{w}}}}}{\ce{K_{b}}}}$$ Observe que essa expressão não depende da concentração inicial. Cálculo da concentração de $\ce{H+}$: $$\ce{[H+]}=\sqrt{\frac{(\pu{1,8e-5})(\pu{e-14})}{(\pu{1,8e-9})}}$$ $$\ce{[H+]}=\pu{e-5 mol L-1}$$ Cálculo do pH: $$\ce{pH}=-\log[\ce{H+}]$$ $$\ce{pH}=-\log(\pu{e-5})$$ $$\ce{pH}=5$$