Problema 3H43

O cátion cálcio $\ce{Na^{+}}$ pertence ao grupo 1 portanto possui caráter neutro, não afetando o pH da solução, resta apenas analisar o efeito do ânion. Escrevendo as constantes de equilíbrio: $$\ce{K_{\ce{a}1}}=\frac{\ce{[H+][HCO3-]}}{\ce{[H2CO3]}}$$ $$\ce{K_{\ce{a}2}}=\frac{\ce{[H+][CO3^{2-}]}}{\ce{[HCO3-]}}$$ Cálculo da fração molar de $\ce{HCO3-}$: $$x_{\ce{HCO3-}}=\frac{[\ce{HCO3-}]}{\ce{[H2CO3] + [HCO3-] +[CO3^{2-}]}}$$ Substituindo em função da concentração de H+ usando as constantes de equilíbrio: $$x_{\ce{HCO3-}}=\frac{[\ce{HCO3-}]}{\frac{\ce{[H+][HCO3-]}}{\ce{K_{\ce{a}1}}}\ce{ + [HCO3-] +}\frac{\ce{K_{\ce{a}2}}\ce{[HCO3^{-}]}}{\ce{[H+]}}}$$ $$x_{\ce{HCO3-}}=\frac{1}{\frac{\ce{[H+]}}{\ce{K_{\ce{a}1}}}\ce{ + 1 +}\frac{\ce{K_{\ce{a}2}}\ce{}}{\ce{[H+]}}}$$ Como colocamos apenas $\ce{HCO3-}$ em solução, e as reações tanto de ionização quanto a de hidrólise do ânion tem constantes de equilíbrio muito baixas, consideramos que a reação praticamente não ocorre. Conclusão: $\ce{x_{HCO3-}}$ é a máxima possível e Para maximizar a fração de $\ce{HCO3-}$ basta minimizar o denominador, veja que o único termo que depende do pH é a seguinte fração do denominador: $$\frac{\ce{[H+]}}{\ce{K_{\ce{a}1}}}+\frac{\ce{K_{\ce{a}2}}\ce{}}{\ce{[H+]}}$$ Podemos minimizá-lo usando a desigualdade das médias: $$MA\ge MG$$ $$\frac{\frac{\ce{[H+]}}{\ce{K_{\ce{a}1}}}+\frac{\ce{K_{\ce{a}2}}\ce{}}{\ce{[H+]}}}{2}\ge\sqrt{\frac{\ce{[H+]}}{\ce{K_{\ce{a}1}}}\cdot\frac{\ce{K_{\ce{a}2}}\ce{}}{\ce{[H+]}}}$$ $$\frac{\ce{[H+]}}{\ce{K_{\ce{a}1}}}+\frac{\ce{K_{\ce{a}2}}\ce{}}{\ce{[H+]}}\ge2\sqrt{\frac{\ce{K_{\ce{a}1}}}{\ce{K_{\ce{a}2}}}}$$ O caso de igualdade ocorre quando os termos da soma são iguais, ou seja: $$\frac{\ce{[H+]}}{\ce{K_{\ce{a}1}}}=\frac{\ce{K_{\ce{a}2}}\ce{}}{\ce{[H+]}}$$ $$\ce{[H+]}=\sqrt{\ce{K_{\ce{a}1}}\ce{K_{\ce{a}2}}}$$ $$\ce{pH =\frac{\ce{p}K_{\ce{a}1} + \ce{pK_{\ce{a}2}}}{2}}$$ Cálculo do pH: $$\ce{pH =\frac{6,4 + 10}{2}}=8,2$$