Problema 3J23

Perceba que o valor do $\ce{K_{\ce{ps}}}$ é muito pequeno, ou seja, a constante da reação inversa (que é no caso a reação de precipitação) é altíssima, então quando adicionarmos essa quantidade de íons em soluções eles rapidamente irão precipitar. Situação inicial: $$\begin{matrix}&\ce{Ag^{+}}&\ce{Cl-}&\ce{Br-} &\ce{Na+}&\ce{NO3-}\\\text{concentração inicial}&\pu{0,005 mol L-1}&\pu{0,005 mol L-1}&\pu{0,005 mol L-1}&\pu{0,01 mol L-1}&\pu{0,005 mol L-1}\end{matrix}$$ Após começar a precipitação nós perdemos o controle sobre a quantidade de íons que ainda resta em solução, então não podemos fazer o balanço de massa, resta apenas fazer o balanço de carga (lembrando de incluir os íons espectadores!) e usar as constantes de equilíbrio. Balanço de carga: $$\sum\limits+=\sum\limits-$$ $$\ce{[Ag+] + [Na+]}=\ce{[Cl-] + [Br-] + [\ce{NO3-}]}$$ $$\ce{[Ag+]}+0,01=\ce{[Cl-]}+\ce{[Br-]}+0,005$$ $$\ce{[Cl-]}+\ce{[Br-]}-\ce{[Ag+]}=0,005$$ Pelas constantes de equilíbrio temos: $$\ce{K_{\ce{ps}}(AgBr)}=\ce{[Ag+][Br-]}$$ $$\ce{K_{\ce{ps}}(AgCl)}=\ce{[Ag+][Cl-]}$$ $$\pu{7,7e-13}=\ce{[Ag+][Br-]}$$ $$\pu{1,6e-10}=\ce{[Ag+][Cl-]}$$ Isolando as outras concentrações em função da de $\ce{Ag+}$ e substituindo na equação do balanço de carga temos: $$\frac{\pu{1,6e-10}}{\ce{[Ag+]}}+\frac{\pu{7,7e-13}}{\ce{[Ag+]}}-\ce{[Ag+]}=0,005$$ Basta resolver a equação de segundo grau em $\ce{[Ag+]}$ (fique à vontade para fazer aproximações, desde que você verifique que as aproximações são válidas) $$\boxed{\ce{[Ag+]}=\pu{3,2e-8 mol.L-1}}$$ Usando as constantes, conseguimos calcular as demais concentrações: $$\ce{[Br-]}=\frac{\pu{7,7e-13}}{\ce{[Ag+]}}$$ $$\boxed{\ce{[Br-]}=\pu{2,4e-5 mol L-1}}$$ $$\ce{[Cl-]}=\pu{\frac{\pu{1,6e-10}}{\ce{[Ag+]}}}$$ $$\boxed{\ce{[Cl-]}=\pu{0,005 mol L-1}}$$