Problema 3J24

Perceba que o valor do $\ce{K_{\ce{ps}}}$ é muito pequeno, ou seja, a constante da reação inversa (que é no caso a reação de precipitação) é altíssima, então quando adicionarmos essa quantidade de íons em soluções eles rapidamente irão precipitar. Situação inicial: $$\begin{matrix}&\ce{Ca^{2+}}&\ce{Ba^{2+}}&\ce{SO4^{2-}} &\ce{Na+}&\ce{NO3-}\\\text{concentração inicial}&\pu{0,17 mol L-1}&\pu{0,17 mol L-1}&\pu{0,25 mol L-1}&\pu{0,5 mol L-1}&\pu{0,68 mol L-1}\end{matrix}$$ Após começar a precipitação nós perdemos o controle sobre a quantidade de íons que ainda resta em solução, então não podemos fazer o balanço de massa, resta apenas fazer o balanço de carga(lembrando de incluir os íons espectadores!) e usar as constantes de equilíbrio. Balanço de carga: $$\sum\limits+=\sum\limits-$$ $$\ce{2\cdot[Ba^{2+}] +2\cdot[Ca^{2+}] +[Na+]}=\ce{2\cdot[SO4^{2-}] + [\ce{NO3-}]}$$ $$\ce{2\cdot[Ba^{2+}] +2\cdot[Ca^{2+}] }+0,5=2\cdot\ce{[SO4^{2-}]}+0,68$$ $$\ce{[Ba^{2+}]}+\ce{[Ca^{2+}]}-\ce{[SO4^{2-}]}=0,09$$ Pelas constantes de equilíbrio temos: $$\ce{K_{\ce{ps}}(BaSO4)}=\ce{[Ba^{2+}][SO4^{2-}]}$$ $$\ce{K_{\ce{ps}}(CaSO4)}=\ce{[Ca^{2+}][SO4^{2-}]}$$ $$\pu{1,1e-10}=\ce{[Ba^{2+}][SO4^{2-}]}$$ $$\pu{2,4e-5}=\ce{[Ca^{2+}][SO4^{2-}]}$$ Isolando as outras concentrações em função da de $\ce{SO4^{2-}}$ e substituindo na equação do balanço de carga temos: $$\frac{\pu{1,1e-10}}{\ce{[SO4^{2-}]}}+\frac{\pu{2,4e-5}}{\ce{[SO4^{2-}]}}-\ce{[SO4^{2-}]}=0,09$$ Basta resolver a equação de segundo grau em $\ce{[SO4^{2-}]}$ (fique à vontade para fazer aproximações, desde que você verifique que as aproximações são válidas) $$\boxed{\ce{[SO4^{2-}]}=\pu{2,66e-4 mol L-1}}$$ Usando as constantes, conseguimos calcular as demais concentrações: $$\ce{[Ba^{2+}]}=\frac{\pu{1,1e-10}}{\ce{[SO4^{2-}]}}$$ $$\boxed{\ce{[Ba^{2+}]}=\pu{4,1e-7 mol L-1}}$$ $$\ce{[Ca^{2+}]}=\pu{\frac{\pu{2,4e-5}}{\ce{[SO4^{2-}]}}}$$ $$\boxed{\ce{[Ca^{2+}]}=\pu{0,09 mol L-1}}$$